Provas OBMEP 2022 com Gabarito e Resolução 17ª OBMEP - 1ª FASE NÍVEL 1 OBMEP 2022 - QUESTÃO 01 Quanto é 100 × 101? (A) Mil e um. (B) Mi...
Provas OBMEP 2022 com Gabarito e Resolução
17ª OBMEP - 1ª FASE
NÍVEL 1
OBMEP 2022 - QUESTÃO 01
Quanto é 100 × 101?
(A) Mil e um.
(B) Mil e dez.
(C) Dez mil e dez.
(D) Dez mil e cem.
(E) Onze mil e cem.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 02
Marcelo usa palitos para fazer quadriculados como na figura. Para fazer um quadriculado 2 x 2 ele usa 12 palitos, e assim por diante. Quantos palitos ele precisará para fazer um quadriculado 5 x 5?
(A) 50
(B) 55
(C) 60
(D) 80
(E) 100
OBMEP 2022 - QUESTÃO 03
Duas placas de sinalização foram colocadas no início de uma ponte sobre um rio. Uma placa indica a largura máxima permitida e a outra, o peso máximo permitido para os veículos que pretendem passar por ela. Qual dos caminhões a seguir pode passar por essa ponte?
(A) O que pesa 4300 kg e tem largura de 3,3 m.
(B) O que pesa 4305 kg e tem largura de 3,15 m.
(C) O que pesa 4250 kg e tem largura de 3,3 m.
(D) O que pesa 4400 kg e tem largura de 3,25 m.
(E) O que pesa 4290 kg e tem largura de 3,2 m.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 04
Na figura, as formiguinhas podem se movimentar na horizontal, na vertical ou diagonalmente. Qual é a menor quantidade de formiguinhas que devem mudar de posição para que, em cada linha e em cada coluna, fiquem somente duas formiguinhas?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
OBMEP 2022 - QUESTÃO 05
A figura abaixo é formada por três quadrados. A área do maior deles é 36 cm²? e a área do menor é 4 cm?. Qual é a área do terceiro quadrado?
(A) 8 cm²
(B) 9 cm²
(C) 12 cm²
(D) 16 cm²
(E) 25 cm²
OBMEP 2022 - QUESTÃO 06
A primeira fase da OBMEP é composta por três provas, de níveis 1, 2 e 3, com 20 questões em cada prova.
Nessas provas, três questões são comuns aos três níveis, duas são comuns somente aos níveis 1 e 2 e outras duas são comuns somente aos níveis 2 e 3. As demais questões só aparecem em uma das provas. Quantas questões diferentes aparecem nas três provas da primeira fase da OBMEP?
(A) 50
(B) 52
(C) 55
(D) 56
(E) 57
OBMEP 2022 - QUESTÃO 07
Cinco cartões numerados de 1 a 5 são colocados inicialmente alinhados, como indicado na figura. Maria movimentou os cartões até chegar na posição final. A cada movimento, ela trocou dois cartões de posição, colocando cada um deles na posição em que estava o outro. Qual é o menor número de trocas que ela pode ter feito para chegar à linha final?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
OBMEP 2022 - QUESTÃO 08
O retângulo ABCD tem área igual a 1 cm² e os pontos E, F, G e H são pontos médios dos lados aos quais pertencem, conforme indicado na figura. Qual é a soma das áreas das regiões coloridas de azul?
(A) 2/7 cm²
(B) 1/3 cm²
(C) 1/4 cm²
(D) 2/9 cm²
(E) 1/6 cm²
OBMEP 2022 - QUESTÃO 09
Na figura, aparecem seis hexágonos que têm verso branco ou azul, e o número que aparece em cada hexágono indica quantos de seus vizinhos têm o verso azul. Quantos hexágonos da figura têm verso azul?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
OBMEP 2022 - QUESTÃO 10
Os números naturais maiores do que 1 estão escritos em uma tabela de acordo com o padrão apresentado na figura abaixo. Qual é a linha em que aparece o número 1001?
(A) 1º. Linha.
(B) 2º.Linha.
(C) 3º.Linha.
(D) 4º. Linha.
(E) 5º. Linha.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 11
A figura mostra um trecho do teclado de um piano, com as notas associadas às teclas. Os nomes das notas se repetem, seguindo o mesmo padrão. O intervalo entre duas notas consecutivas é chamado de semitom. Por exemplo, na figura, a nota Si está 7 semitons acima da nota Mi (contam-se teclas pretas e brancas).
Qual é a nota que está 17 semitons acima da nota Lã?
(A) Ré
(B) Dó
(C) Fá
(D) Dó#
(E) Sol
OBMEP 2022 - QUESTÃO 12
Uma formiguinha passeia em uma malha formada por triângulos equiláteros de lado 1 cm, como na figura. Ela parte do ponto P para o ponto Q, e sempre que encontra um vértice da malha, muda de direção, fazendo um giro de 60º. Ela repete sempre dois giros para a direita e um para a esquerda, percorrendo o caminho vermelho da figura. Em qual ponto da malha a formiguinha vai estar após percorrer 1000 cm?
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D
(E) E
OBMEP 2022 - QUESTÃO 13
Alice colocou uma folha de papel cinzento de lados 40 cm e 50 cm em cima de uma folha branca de lados 70 cm e 80 cm, como indicado na figura. Em seguida ela dobrou a folha branca em cima da cinzenta pelas linhas pontilhadas. Qual é a área da parte cinzenta que não ficou coberta?
(A) 100 cm²
(B) 200 cm²
(C) 300 cm²
(D) 400 cm²
(E) 500 cm²
OBMEP 2022 - QUESTÃO 14
Miguel saiu de casa, foi para a escola, voltou para o clube, foi para o cinema e voltou para casa, andando sempre pela rua representada na figura. Neste caminho existem duas árvores e a distância entre elas é de 900 m. Uma das árvores está na metade do caminho entre a casa e o clube e a outra árvore está na metade do caminho entre a escola e o cinema. Quantos metros Miguel andou?
(A) 900
(B) 1800
(C) 2700
(D) 3600
(E) 4500
OBMEP 2022 - QUESTÃO 15
Ana, Cláudia, Joaquim, Pedro e Fabiana se esconderam durante uma brincadeira. Nessa brincadeira,
- havia exatamente duas crianças na casa da árvore;
- Pedro, que nasceu em São Paulo, se escondeu junto com Fabiana;
- uma menina se escondeu sozinha;
- Ana não estava sozinha em seu esconderijo;
- O menino pernambucano estava na casa da árvore.
Quem estava na casa da árvore?
(A) Pedro e Fabiana.
(B) Joaquim e Cláudia.
(C) Ana e Joaquim.
(D) Pedro e Ana.
(E) Cláudia e Fabiana.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 16
João montou oito dados idênticos a partir da planificação da figura, e com eles formou um cubo. Qual é a menor soma possível para os 24 números que aparecem nas faces do cubo?
(A) 32
(B) 48
(C) 56
(D) 64
(E) 72
OBMEP 2022 - QUESTÃO 17
Um grupo de meninos e meninas brinca de roda. Nessa roda
- 7 meninas têm uma menina à sua direita;
- 9 meninas têm um menino à sua direita;
- 2/5 dos meninos têm um menino à sua esquerda.
Quantas crianças há nesse grupo?
(A) 29
(B) 30
(C) 31
(D) 32
(E) 33
OBMEP 2022 - QUESTÃO 18
Priscila escreveu um número em cada um dos círculos vazios da figura, de modo que a soma dos quatro números escritos ficou igual à soma dos três números ligados pela linha vertical e igual à soma dos três números ligados pela linha horizontal. Qual é a soma dos quatro números que Priscila escreveu?
(A) 2020
(B) 3030
(C) 4040
(D) 5050
(E) 6060
OBMEP 2022 - QUESTÃO 19
Três casais de irmãos dividem algumas maçãs. Ana pegou uma maçã, Bete pegou duas e Carla pegou três. Diogo pegou a mesma quantidade de maçãs que sua irmã pegou, Edson pegou o dobro do que sua irmã pegou e Fábio pegou o quádruplo do que sua irmã pegou. Sabendo que Fábio pegou menos maçãs do que Edson, quantas maçãs ao todo Diogo, Edson e Fábio pegaram?
(A) 11
(B) 12
(C) 13
(D) 15
(E) 16
OBMEP 2022 - QUESTÃO 20
A calculadora de Raul possui duas teclas especiais. Uma delas é a T, que triplica o número que está no visor. A outra é a A, que apaga a unidade do número que está no visor (se o número possuir apenas um algarismo, a tecla A não faz nada).
Por exemplo, se o número 5 estiver no visor e as teclas T e A forem apertadas, nessa ordem, aparecerá o número 1 no visor. Quantos números podem estar inicialmente no visor de modo que, após Raul apertar as teclas T, A, T e A, nessa ordem, apareça o número 78 como resultado final?
(A) 4
(B) 13
(C) 26
(D) 100
(E) 234
NÍVEL 2
OBMEP 2022 - QUESTÃO 01
As vagas de um estacionamento estão numeradas de 1 a 99. Todas as vagas com número ímpar estão ocupadas, e as demais estão vazias. Quantas vagas estão ocupadas?
(A) 48
(B) 49
(C) 50
(D) 51
(E) 98
OBMEP 2022 - QUESTÃO 02
Em cada partida de um jogo disputado por dois jogadores, há sempre um vencedor, ou seja, não há empates. Cada jogador começa o jogo com 100 pontos. Quem vence uma partida soma 5 a seus pontos, e quem perde uma partida subtrai 2 de seus pontos. O jogo termina quando a soma dos pontos dos dois jogadores passar de 300. Após o encerramento do jogo, quantas partidas foram realizadas?
(A) 20
(B) 32
(C) 33
(D) 34
(E) 50
OBMEP 2022 - QUESTÃO 03
Os símbolos empregados na escrita musical indicam a duração de cada nota em relação à semibreve. As durações correspondentes a alguns deles estão descritas na tabela abaixo.
Qual é a alternativa em que a duração total das notas, em relação à semibreve, é diferente das demais alternativas?
OBMEP 2022 - QUESTÃO 04
Em seu espetáculo, um mágico diz para Fernanda:
Pense em um número, multiplique por 3, adicione 1, multiplique por 8, subtraia 2 e divida por 6. Agora me diga o número que você encontrou, que eu lhe direi o número em que você pensou.
Que operações matemáticas o mágico pode fazer com o número dito por Fernanda para descobrir o número em que ela pensou?
(A) Subtrair 1 e, em seguida, dividir por 4.
(B) Dividirpor4.
(C) Subtrair2 e, em seguida, dividir por 6.
(D) Dividir por 4 e, em seguida, subtrair 1.
(E) Subtrair 4.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 05
Morgana escolheu seis números inteiros positivos e diferentes entre si, cuja soma é 2020. Qual é o maior número que pode aparecer dentre os números escolhidos?
(A) 1999
(B) 2005
(C) 2010
(D) 2014
(E) 2019
OBMEP 2022 - QUESTÃO 06
Júlia escreveu os números 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8 e 9 em um tabuleiro 3 x 3, sem repetições, e observou que a soma dos números em cada um dos seus quatro subtabuleiros 2 x 2 era igual a 20.
Os números 7 e 5 foram escritos como na figura abaixo. Qual é o número que foi escrito na casa destacada na cor cinza?
(A) 1
(B) 3
(C) 4
(D) 8
(6) 9
OBMEP 2022 - QUESTÃO 07
Uma folha de papel retangular ABCD, de 10 cm por 20 cm, tem uma face colorida e o verso branco. Foram feitas duas dobras nessa folha, levando-se os pontos A e C sobre a diagonal BD, de modo que s dobras ficaram paralelas a essa diagonal, como mostrado na figura abaixo.
Qual é a área da região colorida que fica visível após as dobras?
(A) 25 cm²
(B) 50 cm²
(C) 75 cm²
(D) 100 cm²
(E) 125 cm²
OBMEP 2022 - QUESTÃO 08
Uma prova é formada por 45 questões de múltipla escolha. Cada resposta correta vale 1 ponto e para cada resposta errada desconta-se 0,25 ponto; questões não respondidas não são pontuadas.
Um estudante obteve 28 pontos nessa prova. Qual é o número máximo de questões que ele pode ter acertado?
(A) 28
(B) 29
(C) 30
(D) 31
(E) 32
OBMEP 2022 - QUESTÃO 09
Um fabricante diminuiu a quantidade de chocolate em uma caixa de 250 g para 200 g, mantendo o preço da caixa. Qual foi o aumento percentual do preço do grama do chocolate?
(A) 5%
(B) 10%
(C) 15%
(D) 20%
(E) 25%
OBMEP 2022 - QUESTÃO 10
Em uma fila há 21 pessoas atrás de Joana e 24 pessoas na frente de Pascoal. Entre eles há 1/4 de todos os que estão na fila. Qual é o número de pessoas na fila?
(A) 36
(B) 39
(C) 42
(D) 45
(E) 47
OBMEP 2022 - QUESTÃO 11
DISPONÍVEL NA PROVA NÍVEL 1.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 12
Na figura, ABCD é um quadrado e AGD, BEC e CDF são triângulos equiláteros. Quanto mede o ângulo GFE?
(A) 15°
(B) 22,5°
(C) 30°
(D) 36°
(E) 45°
OBMEP 2022 - QUESTÃO 13
DISPONÍVEL NA PROVA NÍVEL 1.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 14
DISPONÍVEL NA PROVA NÍVEL 1.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 15
Priscila escreveu um número em cada um dos Círculos vazios da figura, de modo que a soma dos quatro números escritos ficou igual à soma dos três números ligados pela linha vertical e igual à soma dos três números ligados pela linha horizontal.
Qual é a soma dos quatro números que Priscila escreveu?
(A) 2020
(B) 3030
(C) 4040
(D) 5050
(E) 6060
OBMEP 2022 - QUESTÃO 16
DISPONÍVEL NA PROVA NÍVEL 1.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 17
A figura abaixo mostra um tabuleiro 5 x 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos. Observe que esse tabuleiro não se altera quando girado de 90º.
Quantos tabuleiros 5 x 5 formados por quadrados pretos ou brancos não se alteram quando girados de 90º?
(A) 25
(B) 30
(C) 64
(D) 128
(E) 192
OBMEP 2022 - QUESTÃO 18
Ivan e Luciana, nascidos antes de 2000, travaram o seguinte diálogo em 2019, depois de seus aniversários:
— Luciana, veja que coincidência! Minha idade agora é igual ao número formado pelos dois últimos algarismos de seu ano de nascimento.
— Nossa, Ivan! O mesmo acontece comigo: minha idade é também igual ao número formado pelos dois últimos algarismos de seu ano de nascimento!
Com base nestas informações podemos concluir que
(A) o mesmo fato ocorrerá com eles em 2020.
(B) a diferença de idade entre Ivan e Luciana é de 19 anos.
(C) a soma das idades completadas por Ivan e Luciana em 2019 é 119 anos.
(D) Ivan completou 70 anos em 2019.
(E) Luciana completou 45 anos em 2019.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 19
A figura abaixo é formada por dois quadrados parcialmente sobrepostos. A interseção desses quadrados, com contorno preto, tem área 18 cm² e perímetro 20 cm. A união desses quadrados, com contorno vermelho, tem área 163 cm? e perímetro 56 cm.
Qual é, em cm², a diferença entre as áreas dos dois quadrados?
(A) 1
(B) 4
(C) 10
(D) 15
(E) 19
OBMEP 2022 - QUESTÃO 20
Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual a 2026?
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8
NÍVEL 3
OBMEP 2022 - QUESTÃO 01
Henrique pensou em um número, multiplicou por 3, somou 3, dividiu por 3, subtraiu 3, calculou a raiz cúbica e obteve 3 como resultado final. Qual é a soma dos algarismos do número em que Henrique pensou?
(A) 11
(B) 12
(C) 13
(D) 14
(E) 15
OBMEP 2022 - QUESTÃO 02
Os números x e y são tais que 80% de x é igual a 20% de y. Qual das igualdades abaixo é verdadeira?
(A) x = 4y
(B) 2x = 3y
(C) x = 8y
(D) 3x = 2y
(E) 4x = y
OBMEP 2022 - QUESTÃO 03
A professora Brenda aplicou uma prova para 25 estudantes e cometeu um erro ao escrever a nota da aluna Aline, registrando 3,6 ao invés de 8,6.
Com esse erro, a média das notas foi 7,2. Qual passou a ser a média das notas depois de corrigido esse erro?
(A) 73
(B) 74
(C) 7,45
(D) 7,5
(E) 7,6
OBMEP 2022 - QUESTÃO 04
A travessia de um deserto dura seis dias, e uma pessoa consegue carregar comida e água para apenas quatro dias. Omar quer atravessar esse deserto com a ajuda de alguns amigos, que podem lhe dar parte de seus suprimentos e retornar ao ponto de partida.
Qual é a quantidade mínima de amigos que devem iniciar a travessia com Omar, para que ele consiga atravessar o deserto e seus amigos retomem ao ponto de partida?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
OBMEP 2022 - QUESTÃO 05
Uma fábrica recebeu uma encomenda de 100 kg de bombons para entregar em 10 dias. Após 5 dias, seus 3 funcionários produziram 20 kg de bombons.
No mínimo, quantos funcionários extras a fábrica precisa contratar para atender a encomenda no prazo, supondo-se que todos os funcionários tenham a mesma produção diária?
(A) 5
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 12
OBMEP 2022 - QUESTÃO 06
Admita que sejam válidas ambas as seguintes sentenças:
- Pinóquio sempre mente;
- Pinóquio diz: “Todos os meus chapéus são verdes”.
Podemos concluir dessas duas sentenças que:
(A) Pinóquio tem pelo menos um chapéu.
(B) Pinóquio tem apenas um chapéu verde.
(C) Pinóquio não tem chapéus.
(D) Pinóquio tem pelo menos um chapéu verde.
(E) Pinóquio não tem chapéus verdes.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 07
Laura colou 27 cubinhos, alguns brancos e outros cinzentos, formando um cubo maior. A figura mostra duas vistas desse cubo, ambas com a mesma face em contato com a mesa.
No máximo, quantos cubinhos brancos Laura usou para montar o cubo?
(A) 15
(B) 16
(C) 7
(D) 18
(E) 19
OBMEP 2022 - QUESTÃO 08
Um professor de educação física precisou escolher, dentre seus alunos, uma equipe formada por dois meninos e uma menina ou por duas meninas e um menino. Ele observou que poderia fazer essa escolha de 25 maneiras diferentes.
Quantos meninos e meninas são alunos desse professor?
(A) 5
(B) 7
(C) 9
(D) 10
(E) 25
OBMEP 2022 - QUESTÃO 09
DISPONÍVEL NA PROVA NÍVEL 2.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 10
DISPONÍVEL NA PROVA NÍVEL 2.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 11
Em uma escola foram criados três clubes distintos com 15 alunos cada. Nenhum aluno participa de três clubes, mas os alunos podem participar de mais de um clube. Quantos alunos, no mínimo, participam desses clubes?
(A) 23
(B) 24
(C) 25
(D) 26
(E) 27
OBMEP 2022 - QUESTÃO 12
Ana, Cláudia, Joaquim, Pedro e Fabiana se esconderam durante uma brincadeira. Nessa brincadeira,
* havia exatamente duas crianças na casa da árvore;
* Pedro, que nasceu em São Paulo, se escondeu junto com Fabiana;
* uma menina se escondeu sozinha;
* Ana não estava sozinha em seu esconderijo;
* o menino pernambucano estava na casa da árvore.
Quem estava na casa da árvore?
(A) Pedro e Fabiana.
(B) Joaquim e Cláudia.
(C) Ana e Joaquim.
(D) Pedro e Ana.
(E) Cláudia e Fabiana.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 13
A figura mostra três circunferências de centros O, P e Q, cada uma tangente às outras nos pontos A, B e C, como indicado. O diâmetro AD da circunferência de centro O tangencia a circunferência de centro Q em E. Os raios das circunferências de centro O e de centro P medem, respectivamente, 1 e 2/3.
Qual é o raio da circunferência de centro Q?
(A) 15
(B) 625
(C) 7/25
(D) 825
(E) 925
OBMEP 2022 - QUESTÃO 14
Os nove pontos da figura estão igualmente espaçados na circunferência. Maria quer pintar alguns desses pontos de tal forma que não exista triângulo equilátero cujos vértices estejam todos pintados. Qual é o maior número de pontos que ela pode pintar?
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D 7
(E) 8
OBMEP 2022 - QUESTÃO 15
DISPONÍVEL NA PROVA NÍVEL 2.
OBMEP 2022 - QUESTÃO 16
A figura abaixo mostra um tabuleiro 5 x 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos. Observe que esse tabuleiro não se altera quando girado de 90º. Quantos tabuleiros 5 x 5 formados por quadrados pretos ou brancos não se alteram quando girados de 90°?
(A) 25
(B) 30
(C) 64
(D) 128
(E) 192
OBMEP 2022 - QUESTÃO 17
Cinco jogadores disputam um torneio de tênis de mesa de modo que cada jogador enfrenta todos os outros exatamente uma vez. Nessas partidas não há empates. Em cada partida, os dois jogadores têm a mesma probabilidade de ganhar, e o resultado de uma partida não influencia o resultado das demais.
Qual é a probabilidade de que algum jogador vença todas as suas partidas?
(A) 14
(B) 58
(C) 516
(D) 5/32
(E) 5/64
OBMEP 2022 - QUESTÃO 18
Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 10
(E) 14
OBMEP 2022 - QUESTÃO 19
O retângulo ABCD é formado pelos triângulos ABP, CQP, AQD e APQ. As áreas dos triângulos ABP, CQP e AQD são, respectivamente, 6, 5 e 2 cm². Qual é, em em, a área do triângulo APQ?
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11
OBMEP 2022 - QUESTÃO 20
Dois reservatórios, ligados por um fino tubo em sua parte inferior, contêm o mesmo volume de água, com diferentes alturas, conforme mostrado na Figura 1.
Abrindo-se a torneira do tubo, a água escoa, de modo que as alturas das colunas de água se tomem iguais.
O nível de água do reservatório esquerdo baixa x cm e o nível de água do reservatório direito sobe y cm, conforme indicado na Figura 2. Qual é a altura h, em cm, da água em equilíbrio?
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